[더플러스수학] 증가함수(또는 감소함수)의 역함수도 증가함수(또는 감소함수)이다.

정의 증가함수

함수 $\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)$가 다음 조건을 만족할  때를 (순)증가함수-strictly increasing function라고 한다.
임의의 $\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)$에 대하여

$\displaystyle  x_1 < x_2$  $\displaystyle \longrightarrow$ $\displaystyle  f(x_1 ) < f(x_2 )$  $\displaystyle \cdots\cdots$ (i)

또, 다음을 만족하면 단조증가함수(monotonic increasing function) 또는 감소하지 않는 함수(non-decreasing function)이라 한다.

$\displaystyle  x_1 < x_2$  $\displaystyle \longrightarrow$ $\displaystyle  f(x_1 ) \textcolor{red}{\leq} f(x_2 )$

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증가함수를 부정하면 즉, 증가함수가 아님을 보기 위해서는 위의 (i)을 부정하면 된다.
"모든, 어떤"을 포함하고, "~이면~"을 포함한 명제의 부정은 다음의 글을 먼저 참조하시길...
2022.01.23 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 함수의 극한의 엄밀한 정의(1) $\epsilon-\delta$, $\displaystyle p \rightarrow q$와 $\displaystyle \sim p ~or~ q$와 그 부정

 

(i)을 부정하자.
어떤 $\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)$이 존재하여 다음을 만족하지 않는다.

$\displaystyle  x_1 < x_2$  $\displaystyle \longrightarrow$ $\displaystyle  f(x_1 ) < f(x_2 )$  

여기서 "만족하지 않는다"는 표현과 "~이면~"의 표현이 있다. "만족한다"로 쓰면, 즉 이것을 부정하면

 

어떤 $\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)$이 존재하여 다음을 만족한다.

$\displaystyle  x_1 < x_2$이지만 $\displaystyle  f(x_1 ) \geq f(x_2 )$  

정리하면
 

$\displaystyle  x_1 < x_2$이지만 $\displaystyle  f(x_1 ) \geq f(x_2 )$  을 만족하는 어떤 두 수 $\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)$가 존재한다.

 
 
이제 다음 명제를 증명하자.

일대일 함수 $\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)$를 생각하자.
함수 $\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)$가 증가함수이면 그 역함수인 $\displaystyle f^{-1}\,:\,(c,~d) \longrightarrow (a,~b)$도 증가함수이다.

 
(증명) 귀류법으로 증명하자. 먼저 결론을 부정하면 $\displaystyle f^{-1}\,:\,(c,~d) \longrightarrow (a,~b)$가 증가함수가 아니라고 가정하자.
그러면 어떤 두 수 $\displaystyle y_1 ,~y_2 \in (c,~d)$가 존재하여

$\displaystyle y_1 < y_2 \in (c,~d)$  $\displaystyle \cdots\cdots(\mathrm{i})$이고 $\displaystyle f^{-1}(y_1) \geq f^{-1}(y_2)$

이다. 한편 함수 $\displaystyle f$가 증가함이고 $\displaystyle f^{-1}(y_1) \geq f^{-1}(y_2)$에서

$\displaystyle f (f^{-1}(y_1) )\geq f( f^{-1}(y_2))$  $\displaystyle \cdots\cdots(\mathrm{ii})$

그런데 $\displaystyle f \circ f^{-1}=I$ (여기서 $\displaystyle I$는 항등함수)이므로
$\displaystyle (\mathrm{i})$는

$\displaystyle y_1 \geq y_2$

이다. 그런데 이것은 $\displaystyle y_1 < y_2 \in (c,~d)$라는 $\displaystyle \cdots\cdots(\mathrm{i})$의 조건과 서로 모순이다.
따라서 $\displaystyle f^{-1}\,:\,(c,~d) \longrightarrow (a,~b)$는 증가함수이다.
 

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