[더플러스수학] 2009학년도 고려대 수리논술(모의)

2009학년도 고려대 모의논술

(나) [평균값의 정리] 함수 $ y=f ( x) $가 닫힌구간$ [a,~b] $에서 연속이고, 열린구간 $ ( a,~b) $에서 미분가능하면 $ \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a} =f ' ( c) $인 $ c $가 열린구간 $ ( a,~b) $ 안에 적어도 하나 존재한다. (다) 형과 동생이 일직선 도로에서 자전거 시합을 한다. 동생은 출발선으로부터 50지점에서 출발하기로 하였다. 둘이 동시에 출발하여 $ T $초 후 형은 200미터 지점을, 동생은 150미터 지점을 통과하였다. 출발 $ t $초 후 형의 위치를 $ x _ {t} ( t) $미터라 하고 동생의 위치를 $ x _ {2} ( t) $미터라 하면 운동의 물리적 특성으로 인해 $ x _ {1} ( t) $와 $ x _ {2} ( t) $는 닫힌구간 $ [0,~T] $에서 연속이고, 열린구간 $ ( 0,~T) $에서 미분가능한 함수로 볼 수 있다. 따라서 형과 동생의 속도는 각각 $ v _ {t} ( t)=x _ {1} ' ( t) $미터/초와 $ v _ {2} ( t)=x _ {2} ' ( t) $미터/초로 표시할 수 있다. (라) 평면 위를 움직이는 점 $  P $의 좌표가 시간 $ t $초 일 때 $  P ( x ( t),~y ( t)) $로 주어졌다고 하자. $ x ( t) $와 $ y ( t) $가 미분가능하면 속도벡터 $ \overrightarrow {v ( t)} $는 $ \overrightarrow {v ( t)} = ( x ' ( t),~y ' ( t)) $이며 속력은 $ | \overrightarrow {v ( t)} |= \sqrt { ( x ' ( t)) ^ {2} + ( y ' ( t)) ^ {2} } $이다. (마) 구간 $ 0 \leq x \leq a $에서 정의된 연속함수 $ f ( x) $와 $ F ( x)= \int _ {0} ^ {x} {} f ( t)dt $가 다음의 성질을 가진다고 하자. $ F ( a)= \int _ {0} ^ {a} {} f ( t)dt=1 $이고, 구간 $ 0 \leq x \leq a $ 안의 모든 $ x $에 대하여 $ f ( x)=3 \left\{ F ( x) \right\} ^ {2} +1 $이 성립한다.

 

논제 2. 제시문 (나)를 활용하여 다음 문항에 답하시오.

(a) 제시문 (다)에서 형의 속도가 동생의 속도의 두 배가 되는 시점, 즉 $ v _ {1} ( t)=2v _ {2} ( t) $가 되는 $ t $가 열린구간 $ ( 0,~T) $안에 존재함을 설명하시오.

 

(b) 제시문 (라)와 관련하여 아래 주장의 문제점을 지적하시오.

$ x ( t) $와 $ y ( t) $가 닫힌구간 $ [t _ {1} ,~t _ {2} ] $에서 연속이고, 열린구간 $ ( t _ {1} ,~t _ {2} ) $에서 미분가능하면 평균값의 정리에 의해

$$ x ' ( s)= \frac {x ( t _ {2} )-x ( t _ {1} )} {t _ {2} -t _ {1} } ,~ y ' ( s)= \frac {y ( t _ {2} )-y ( t _ {1} )} {t _ {2} -t _ {1} } $$

를 만족하는 $ s $가 $ t _ {1} $과 $ t _ {2} $사이에 존재하고, 이 때 속력은 다음과 같다.

$$ | \overrightarrow {v ( s)} |= \frac {\sqrt { ( x ( t _ {2} )-x ( t _ {1} )) ^ {2} + ( y ( t _ {2} )-y ( t _ {1} )) ^ {2} } } {t _ {2} -t _ {1} } $$

 

논제 3. 제시문 (마)에 대하여 다음 문항에 답하시오.

(a) 구간 $ ( 0,~a) $에서 $ y= \left\{ F ( x) \right\} ^ {3} $의 도함수를 $ f ( x) $를 이용하여 표현하시오.

(b) 구간 $ [0,~a] $에서 곡선 $ y=f ( x) $와 $ x $축, 두 직선 $ x=0 $과 $ x=a $로 둘러싸인 도형을 $ x $축 둘레로 회전하여 얻은 회전체의 부피를 구하시오.