[더플러스수학] 2004학년도 서울대 심층면접

[서울대 2004학년도 수시]

반지름이 1$ cm $이고 중심의 좌표가 $ \left ( 0,1 \right ) $인 원이 있다. 여기서 좌표의 단위는 $ cm $이다. 이 원의 중심이 일정한 속도 $ 2cm/\sec $로 수직방향으로 위로 올라가고 그와 동시에 반지름은 일정한 속도 $ 1cm/\sec $로 커지기 시작했다.

1초 후부터는 중심이 올라가는 속도가 $ \frac {1} {2} cm/\sec $로, 반지름의 변화하는 속도는 0으로 바뀐다. 원이 움직이기 시작한 $ t $초가 지났을 때 중심의 좌표를$ \left ( 0,y \left ( t \right ) \right ) $, 반지름을 $ r \left ( t \right ) cm $, 원점에서 이 원에 그은 두 접선이 이루는 예각을 $ \theta \left ( t \right ) $라 하자. (단, $ \theta \left ( t \right ) $는 호도법으로 측정된다. 아래 그림은 참조하여라.)

(1) $ y \left ( t \right ) $와 $ r \left ( t \right ) $를 $ t $의 함수로 나타내고, $ t=1 $에서 함수 $ y \left ( t \right ) $와 $ r \left ( t \right ) $의 미분가능성에 대해 말하시오.

(2) $ f \left ( t \right ) = \frac {r \left ( t \right )} {y \left ( t \right )} $라 할 때, $ f \left ( t \right ) $가 $ t=1 $에서 미분가능함을 보이고, $ f ' \left ( 1 \right ) $을 구하여라.

(3) 시각 $ t=1 $에서 $ \theta $의 순간 변화율 $ \frac {d \theta } {dt} $를 구하시오.

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흰트 및 정답

(1) $ y ( t)= { \begin {cases} 1+2t & ( 0 \leq t \leq 1) \\ 3+ \frac {1} {2} ( t-1) & ( t>1)\end {cases} } $, $ r ( t)= { \begin {cases} 1+t & ( 0 \leq t \leq 1) \\ 2 & ( t \geq 1)\end {cases} } $ 둘다 미분불가능하다.

(2) $ f ' ( 1)=- \frac {1} {9} $

(3) $ \frac {\sqrt {5} } {27} $