[더플러스수학] 2004학년도 서울대 심층면접

[서울대 2004학년도 수시]

반지름이 1$cm$이고 중심의 좌표가 $\left ( 0,1 \right )$인 원이 있다. 여기서 좌표의 단위는 $cm$이다. 이 원의 중심이 일정한 속도 $2cm/\sec$로 수직방향으로 위로 올라가고 그와 동시에 반지름은 일정한 속도 $1cm/\sec$로 커지기 시작했다.

1초 후부터는 중심이 올라가는 속도가 $\frac {1} {2} cm/\sec$로, 반지름의 변화하는 속도는 0으로 바뀐다. 원이 움직이기 시작한 $t$초가 지났을 때 중심의 좌표를$\left ( 0,y \left ( t \right ) \right )$, 반지름을 $r \left ( t \right ) cm$, 원점에서 이 원에 그은 두 접선이 이루는 예각을 $\theta \left ( t \right )$라 하자. (단, $\theta \left ( t \right )$는 호도법으로 측정된다. 아래 그림은 참조하여라.)

(1) $y \left ( t \right )$와 $r \left ( t \right )$를 $t$의 함수로 나타내고, $t=1$에서 함수 $y \left ( t \right )$와 $r \left ( t \right )$의 미분가능성에 대해 말하시오.

(2) $f \left ( t \right ) = \frac {r \left ( t \right )} {y \left ( t \right )}$라 할 때, $f \left ( t \right )$가 $t=1$에서 미분가능함을 보이고, $f ' \left ( 1 \right )$을 구하여라.

(3) 시각 $t=1$에서 $\theta$의 순간 변화율 $\frac {d \theta } {dt}$를 구하시오.

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흰트 및 정답

(1) $y ( t)= { \begin {cases} 1+2t & ( 0 \leq t \leq 1) \\ 3+ \frac {1} {2} ( t-1) & ( t>1)\end {cases} }$, $r ( t)= { \begin {cases} 1+t & ( 0 \leq t \leq 1) \\ 2 & ( t \geq 1)\end {cases} }$ 둘다 미분불가능하다.

(2) $f ' ( 1)=- \frac {1} {9}$

(3) $\frac {\sqrt {5} } {27}$