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[더플러스수학] 2009학년도 고려대 수리논술(모의)수리논술과 심층면접 2019. 8. 22. 15:09
2009학년도 고려대 모의논술
(나) [평균값의 정리] 함수 y=f(x)y=f(x)가 닫힌구간[a, b][a, b]에서 연속이고, 열린구간 (a, b)(a, b)에서 미분가능하면 f(b)−f(a)b−a=f′(c)인 c가 열린구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.
(다) 형과 동생이 일직선 도로에서 자전거 시합을 한다. 동생은 출발선으로부터 50지점에서 출발하기로 하였다. 둘이 동시에 출발하여 T초 후 형은 200미터 지점을, 동생은 150미터 지점을 통과하였다. 출발 t초 후 형의 위치를 xt(t)미터라 하고 동생의 위치를 x2(t)미터라 하면 운동의 물리적 특성으로 인해 x1(t)와 x2(t)는 닫힌구간 [0, T]에서 연속이고, 열린구간 (0, T)에서 미분가능한 함수로 볼 수 있다. 따라서 형과 동생의 속도는 각각 vt(t)=x′1(t)미터/초와 v2(t)=x′2(t)미터/초로 표시할 수 있다.
(라) 평면 위를 움직이는 점 $ P $의 좌표가 시간 t초 일 때 P(x(t), y(t))로 주어졌다고 하자. x(t)와 y(t)가 미분가능하면 속도벡터 →v(t)는 →v(t)=(x′(t), y′(t))이며 속력은 |→v(t)|=√(x′(t))2+(y′(t))2이다.
(마) 구간 0≤x≤a에서 정의된 연속함수 f(x)와 F(x)=∫x0f(t)dt가 다음의 성질을 가진다고 하자. F(a)=∫a0f(t)dt=1이고, 구간 0≤x≤a 안의 모든 x에 대하여 f(x)=3{F(x)}2+1이 성립한다.
논제 2. 제시문 (나)를 활용하여 다음 문항에 답하시오.
(a) 제시문 (다)에서 형의 속도가 동생의 속도의 두 배가 되는 시점, 즉 v1(t)=2v2(t)가 되는 t가 열린구간 (0, T)안에 존재함을 설명하시오.
(b) 제시문 (라)와 관련하여 아래 주장의 문제점을 지적하시오.
x(t)와 y(t)가 닫힌구간 [t1, t2]에서 연속이고, 열린구간 (t1, t2)에서 미분가능하면 평균값의 정리에 의해
x′(s)=x(t2)−x(t1)t2−t1, y′(s)=y(t2)−y(t1)t2−t1
를 만족하는 s가 t1과 t2사이에 존재하고, 이 때 속력은 다음과 같다.
|→v(s)|=√(x(t2)−x(t1))2+(y(t2)−y(t1))2t2−t1
논제 3. 제시문 (마)에 대하여 다음 문항에 답하시오.
(a) 구간 (0, a)에서 y={F(x)}3의 도함수를 f(x)를 이용하여 표현하시오.
(b) 구간 [0, a]에서 곡선 y=f(x)와 x축, 두 직선 x=0과 x=a로 둘러싸인 도형을 x축 둘레로 회전하여 얻은 회전체의 부피를 구하시오.
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