[더플러스수학] 2019년 교육청 7월 20번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f \left ( x \right )$가 모든 실수 $x$에 대하여

$$f \left ( 1+x \right ) =f \left ( 1-x \right )$$ $$f \left ( 2+x \right ) =f \left ( 2-x \right )$$

 

를 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 $f ' \left ( x \right )$가 연속이고, $\int _ {2} ^ {5} {f ' \left ( x \right ) dx=4}$일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left ( x+2 \right ) =f \left ( x \right )$이다. ㄴ. $f \left ( 1 \right ) -f \left ( 0 \right ) =4$ ㄷ. $\int _ {0} ^ {1} {f \left ( f \left ( x \right ) \right ) f ' \left ( x \right ) dx=6}$일 때, $\int _ {1} ^ {10} {f \left ( x \right ) dx} = \frac {27} {2}$이다.

① ㄱ                ② ㄷ               ③ ㄱ, ㄴ       

④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

[정답] ⑤

[출제의도] 정적분을 활용하여 함수 추론하기

ㄱ. $f \left ( 2+x \right )$$=f \left ( 2-x \right ) =f \left ( 1+ \left ( 1-x \right ) \right )$$=f \left ( 1- \left ( 1-x \right ) \right ) =f \left ( x \right )$

$f \left ( x+2 \right ) =f \left ( x \right )$ (참)

ㄴ. $\int _ {2} ^ {5} {f ' \left ( x \right ) dx}$$= \left [ f \left ( x \right ) \right ] _ {2} ^ {5}$$=f \left ( 5 \right ) -f \left ( 2 \right ) =4$이고

ㄱ에 의하여 $f \left ( 5 \right ) =f \left ( 1 \right )$이고$f \left ( 2 \right ) =f \left ( 0 \right )$이므로 $f \left ( 1 \right ) -f \left ( 0 \right ) =4$ (참)

ㄷ. $f \left ( 0 \right ) =a$라 하면 $f \left ( 1 \right ) =a+4$

$f \left ( x \right ) =t$라 치환하면 $\frac {dt} {dx} =f ' \left ( x \right )$이므로 $$\int _ {0} ^ {1} {f \left ( f \left ( x \right ) \right ) f ' \left ( x \right ) dx= \int _ {f \left ( 0 \right )} ^ {f \left ( 1 \right )} {f \left ( t \right ) dt=6} }$$

ㄱ, ㄴ에 의하여 $$\int_a ^{a+4} f(t)dt =6=2 \int_a^{a+2} f(t)dt$$

에서 $$\int_0^2 f(t)dt =3 \int_0^{10} f(x)dx =5 \int_0^2 f(x)dx =15 f(1+x)=f (1-x)$$  이므로 $$\int_0^1 f(x)dx =\int_1^2 f(x)dx = \frac{3} {2}$$       

$$\int_1^{10} f(x)dx = \int_0^{10} f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx =15- \frac{3}{2} = \frac{27}{2}$$ (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ