[2020학년도 나형 모평 9월 16번] 2020학년도 평가원 나형 9월 16번

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2020학년도 평가원 나형 9월 16번

다항함수 $ f \left ( x \right ) $가 $ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } { \frac {f \left ( x \right )} {x ^ {3} } =1,~~ \lim\limits _ {x \rightarrow -1} { \frac {f \left ( x \right )} {x+1} =2} } $를 만족시킨다. $ f \left ( 1 \right ) \leq 12 $일 때, $ f \left ( 2 \right ) $의 최댓값은? [$ 4 $점]

① $ 27 $                    ② $ 30 $                  ③ $ 33 $

④ $ 36 $                  ⑤ $ 39 $

 

 

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정답 ③

$ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } { \frac {f ( x)} {x ^ {3} } } =1 $이므로, $ f ( x) $는 $ x ^ {3} $의 계수가 $ 1 $인 삼차함수이다.

$ f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c $ ,

$ f ' ( x)=3x ^ {2} +2ax+b $ (단, $ a,~b,~c $는 상수) 라 하자.

$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1} { \frac {f ( x)} {x+1} } =2 $이므로, $ \lim\limits _ {x \rightarrow -1} {f ( x)} =0 $이고 $ f prime ( -1)=2 $이다.

$ f ' ( -1)=3-2a+b=2 $이므로 $ b=2a-1 $

$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1} {f ( x)} =-1+a-b+c=0 $이므로

$ a-b+c=1 $

$ a- ( 2a-1)+c=1 $

$ c=a $

이를 정리하면,

$ f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} + ( 2a-1)x+a $이다.

$ f ( 1) \leq 12 $ 이므로, $ f ( 1)=4a \leq 12 $

따라서 $ a \leq 3 $이다.

$ f ( 2) $가 최대가 되려면 삼차함수의 증가 범위에 있을 경우이므로,

$ f ( 2)=9a+6 \leq 33 $이다.