[2020 모평 나형 9월21번] 2020학년도 평가원 나형 9월 21번 킬러문항

함수 $f ( x)=x ^ {3} +x ^ {2} +ax+b$에 대하여 함수 $g ( x)$를 $g ( x)=f ( x)+ ( x-1)f ' ( x)$라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a,~b$는 상수이다.) [$4$점]

ㄱ. 함수 $h ( x)$가 $h ( x)= ( x-1)f ( x)$이면 $h ' ( x)=g ( x)$이다. ㄴ. 함수 $f ( x)$가 $x=-1$에서 극값 $0$을 가지면 $\int _ {0} ^ {1} {} g ( x)dx=-1$이다. ㄷ. $f ( 0)=0$이면 방정식 $g ( x)=0$은 열린 구간 $( 0,~1)$에서적어도 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ                 ② ㄴ                 ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

https://tv.naver.com/v/9793520

[2020 모평 나형 9월21번] 2020학년도 평가원 나형 9월 21번[더플러스수학]

---

정답  ⑤

ㄱ. $h ' \left ( x \right ) =f \left ( x \right ) + \left ( x-1 \right ) f ' \left ( x \right ) =g \left ( x \right )$ [참]

ㄴ. $f \left ( x \right )$가 $x= -1$에서 극값 $0$을 가지므로

$f \left ( -1 \right ) =  -1+1-a+b=0$ $\cdots \cdots$ ㉠

$f ' \left ( x \right ) =3x ^ {2} +2x+a$에서

$f ' \left ( -1 \right ) =3-2+a=a+1=0$ $\cdots \cdots$ ㉡

㉠, ㉡에서 $a=b=  -1$이고 $f \left ( x \right ) =x ^ {3} +x ^ {2} -x-1$

$$\int_0^1 g(x)dx =\int_0^1 h'(x)dx=h(1)-h(0)$$

이때, $h ( 1)=0,$ $h ( 0)=  -f ( 0)=1$이므로

$$\int _ {0} ^ {1} {g ( x)} dx=-1$$

[참]

ㄷ. $f ( 0)=0$이면 $h ( 1)=0,$ $h ( 0)= -f ( 0)=0$따라서 평균값의 정리에 의하여 

$$\frac{h(1)-h(0)}{1-0} =h'(c)$$

를 만족하는 실수 $c~ ( 0<c<1)$가 적어도 하나 존재한다. 또한 $h ' ( c)=g ( c)$이므로 $g ( x)=0$는 $( 0,~1)$에서 적어도 하나의 실근을 가진다. [참]

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ, 모두 참이다.