[2020 모평 나형 9월21번] 2020학년도 평가원 나형 9월 21번 킬러문항

함수 $ f ( x)=x ^ {3} +x ^ {2} +ax+b $에 대하여 함수 $ g ( x) $를 $ g ( x)=f ( x)+ ( x-1)f ' ( x) $라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $ a,~b $는 상수이다.) [$ 4 $점]

ㄱ. 함수 $ h ( x) $가 $ h ( x)= ( x-1)f ( x) $이면 $ h ' ( x)=g ( x) $이다. ㄴ. 함수 $ f ( x) $가 $ x=-1 $에서 극값 $ 0 $을 가지면 $ \int _ {0} ^ {1} {} g ( x)dx=-1 $이다. ㄷ. $ f ( 0)=0 $이면 방정식 $ g ( x)=0 $은 열린 구간 $ ( 0,~1) $에서적어도 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ                 ② ㄴ                 ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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[2020 모평 나형 9월21번] 2020학년도 평가원 나형 9월 21번[더플러스수학]

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정답  ⑤

ㄱ. $ h ' \left ( x \right ) =f \left ( x \right ) + \left ( x-1 \right ) f ' \left ( x \right ) =g \left ( x \right ) $ [참]

ㄴ. $ f \left ( x \right ) $가 $ x= -1 $에서 극값 $ 0 $을 가지므로

$ f \left ( -1 \right ) =  -1+1-a+b=0 $ $ \cdots \cdots $ ㉠

$ f ' \left ( x \right ) =3x ^ {2} +2x+a $에서

$ f ' \left ( -1 \right ) =3-2+a=a+1=0 $ $ \cdots \cdots $ ㉡

㉠, ㉡에서 $ a=b=  -1 $이고 $ f \left ( x \right ) =x ^ {3} +x ^ {2} -x-1 $

$$\int_0^1 g(x)dx =\int_0^1 h'(x)dx=h(1)-h(0)$$

이때, $ h ( 1)=0, $ $ h ( 0)=  -f ( 0)=1 $이므로

$$ \int _ {0} ^ {1} {g ( x)} dx=-1 $$

[참]

ㄷ. $ f ( 0)=0 $이면 $ h ( 1)=0, $ $ h ( 0)= -f ( 0)=0 $따라서 평균값의 정리에 의하여 

$$ \frac{h(1)-h(0)}{1-0} =h'(c)$$

를 만족하는 실수 $ c~ ( 0<c<1) $가 적어도 하나 존재한다. 또한 $ h ' ( c)=g ( c) $이므로 $ g ( x)=0 $는 $ ( 0,~1) $에서 적어도 하나의 실근을 가진다. [참]

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ, 모두 참이다.