[평가원 기출] 2015학년도 나형 6월 30번

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[평가원 기출] 2015학년도 나형 6월 30번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f ( x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $1 \leq f ' ( x) \leq 3$이다.

(나) 모든 정수 $n$에 대하여 함수 $y=f ( x)$의 그래프는점 $( 4n,~8n)$, 점 $( 4n+1,~8n+2)$, 점 $( 4n+2,~8n+5),$ 점 $( 4n+3,~8n+7)$을 모두 지난다.

(다) 모든 정수 $k$에 대하여 닫힌구간 $[2k,~2k+1]$에서 함수 $f ( x)$의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

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$\int _ {3} ^ {6} {f ( x)dx=a}$라 할 때, $6a$의 값을 구하시오. [4점][2014년 6월]

 

 

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정답 및 풀이

정답 167

함수 $f ( x)$가 $( 3,~7),~ ( 4,~8),~ ( 5,~10),~ ( 6,~13)$을 지나고

$1 \leq f ' ( x) \leq 3$이므로

⑴ 두 점 $( 3,~7)$, $( 4,~8)$의 기울기가 $1$이므로 $3 \leq x \leq 4$에서 $f ( x)=x+4$

⑵ 두 점 $( 5,~10),~ ( 6,~13)$의 기울기가 $3$이므로

$5 \leq x \leq 6$에서 $f ( x)=3x-5$

⑶ 주어진 조건에 의해 $( 4,~8)$과 $( 5,~10)$을 지나는 함수는 이차함수이고

$$f ( x)=ax ^ {2} +bx+c$$

$$f ' ( x)=2ax+b$$

실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

$$f ' ( 4)=8a+b=1$$

$$f ' ( 5)=-10a+b=3$$

$$a=1,~b=-7$$

$f ( 4)=8$에서 $c=20$

⑴, ⑵, ⑶에 의해

$$\begin{align} \int _ {3} ^ {6} {f ( x)dx}& = \int _ {3} ^ {4} {} ( x+4)dx+ \int _ {4} ^ {5} {} ( x ^ {2} -7x+20)dx\\&+ \int _ {5} ^ {6} {} ( 3x-5)dx \\& = \frac {167} {6}\end{align}$$

$$\therefore~ 6a=167$$