수학과 공부이야기
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[카이스트 방학숙제1] winter 2022 assignment 1 [더플러스수학]수학과 공부이야기 2022. 1. 27. 15:57
카이스트 방학 숙제1- bridge program – winter 2022 assignment 1 Problem 1 Which of the following statements are true, and which are false? If true, try to give a convincing argument; if false, give a counter-example (that is, an example confirming the falsehood). (a) If \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\) exists but \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)\) does not exist, the..
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[수학의 기초] 함수의 극한의 엄밀한 정의(1) $\epsilon-\delta$, $\displaystyle p \rightarrow q$와 $\displaystyle \sim p ~or~ q$와 그 부정수학과 공부이야기 2022. 1. 23. 15:10
과학고 AP 수업을 할 때, 극한이 \(\displaystyle \epsilon-\delta\)로 정의되는데 이 속에 조건 \(\displaystyle p \rightarrow q\)과 모든(\(\displaystyle \Large \forall\))과 어떤(\(\displaystyle \Large \exists\))등이 포함되어 있다. 즉, 극한의 엄밀한 정의 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=L\) For all \(\displaystyle \epsilon >0\), there exists some \(\displaystyle \delta =\delta (\epsilon)\) such that for all \(\displaystyle x\),..
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[수학의 기초] 디리클레 자 함수(Dirichlete ruler function)-Thomae function수학과 공부이야기 2022. 1. 20. 20:54
과학고에서 배우는 AP-Calculus에서 나오는 디리클레 자함수(Dirichlete Ruler function)에 대해 알아보자. 토마스 Calculus 12판에서 나오는 디리클레 자함수를 인용하면 아래와 같다.The Dirichlet ruler functionIf \(\displaystyle x \) is a rational number, then \(\displaystyle x\) can be written in a unique way as a quotient of integers \(\displaystyle \frac{m}{n}\) where \(\displaystyle n >0\) and \(\displaystyle m\) and \(\displaystyle n \) have no comm..
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[수학의 기초] 평균값의 정리(1)수학과 공부이야기 2021. 12. 12. 12:08
평균값의 정리에 대하여 알아보고 롤의 정리를 이용하여 평균값의 정리를 증명해 보자. 롤의 정리 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이고 열린구간 \(\displaystyle (a,~b)\)에서 미분가능할 때, \(\displaystyle f(a)=f(b)\)이면 \(\displaystyle f'(c)=0\) 인 \(\displaystyle c\)가 열린구간 \(\displaystyle (a,~b\)에 적어도 하나 존재한다. (증명) 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이므로 최대 최소의 정리 의 정리를 이용하여 증명한다. 먼저 함수\(\displaystyle ..
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[수학의 기초] 평균값의 정리와 구간단속수학과 공부이야기 2021. 11. 29. 18:06
\(\displaystyle 53.7 \mathrm{km}\)의 울산-포항간 고속도로가 개통되어 이동시간이 \(\displaystyle 30\)분 시대가 열렸다. 어느 날 울산에 살던 성현이가 포항에 있는 대학교 포스텍(\(\displaystyle \mathrm{POSTECH}\))에 있는 '상학'이라는 학교 선배를 만날 겸 대학을 탐방하기 위해 울산-포항간 고속도로를 이용하여 울산에서 출발하여 포항에 \(\displaystyle 30\)분만에 도착했다. 도착한 직후 교통경찰관인 준현와 성현이의 대화내용을 적어 본다. 물론 가상의 대화이다. 교통경찰 준현 : 속도를 위반하셨군요! 운전자 성현 : 무슨 말씀이세요? 저는 규정속도를 절대로 넘은 적이 없어요! 교통경찰 준현 : 당신은 오늘 아침 \(\disp..
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[더플러스수학] 고급수학 교과서 질문 복소평면 이항방정식 풀이수학과 공부이야기 2021. 11. 1. 12:26
과고2학년 학생들이 고급수학 교과서에서 질문해서 문제와 나의 풀이를 적어본다. 고급수학 교과서 심화문제 \(\displaystyle \zeta \)가 방정식 \(\displaystyle z^n = \omega \)(\(\displaystyle \neq 0 \))의 임의의 한 해라 하자. 또, \(\displaystyle x^n = 1 \)의 근(\(\displaystyle 1 \)의 \(\displaystyle n \)제곱근 중 하나인 \(\displaystyle \omega _ {n} \))에 \(\displaystyle \zeta \)를 곱해서 \(\displaystyle z ^ {n} = \omega \)의 모든 해를 만들 수 있음을 보여라. 즉, 해집합 \(\displaystyle S \)은 \(..
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[더플러스수학] 사인법칙-벡터에 의한 증명수학과 공부이야기 2021. 10. 5. 17:10
사인법칙 삼각형 \(\displaystyle \mathrm {ABC}\)의 세 변 \(\displaystyle a,~b,~c\)와 세 내각 \(\displaystyle A,~B,~C\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R \) (\(\displaystyle R\)은 외접원의 반지름)(\(\displaystyle R\)은 삼각형 \(\displaystyle \mathrm {ABC}\)의 외접원의 반지름) 외접원의 반지름이면 떠오르는 공식은? 답:사인법칙 더플러스수학홈페이지 연습합니다. 성공했을까요? https://youtu.be/IR9vYMHL-cY
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[더플러스수학] 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식-벡터에 의한 증명수학과 공부이야기 2021. 10. 5. 17:05
코시-슈바르츠 부등식 \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)에 속하는 두 벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {u} =(u_1 ,~u_2 ,~\cdots,~u_n) \), \(\displaystyle \overrightarrow {v} =(v_1 ,~v_2 ,~\cdots,~v_n \)에 대하여 \(\displaystyle \left| \overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow { v} \right| \leq \left| \overrightarrow { u} \right| \left| \overrightarrow { v} \right| \) 이다. 이것을 성분으로 표현하면 \(\displaystyle \left|u_1 v_1 +..
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[더플러스수학] 아폴로니우스의 원-벡터에 의한 증명수학과 공부이야기 2021. 10. 4. 23:48
아폴로니우스의 원 평면 위에서 서로 다른 두 정점 \(\displaystyle \mathrm { A,~B} \)으로부터 거리의 비가 \(\displaystyle m:n \) (\(\displaystyle m \neq n \))인 점의 자취는 선분 \(\displaystyle \mathrm { AB} \)를 \(\displaystyle m:n \)으로 내분하는 점과 \(\displaystyle m:n \)으로 외분하는 점을 지름의 양끝으로 하는 원이다. https://youtu.be/kERcL5srzyw 2020.05.17 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 아폴로니우스의 원으로 가는 길(1)-삼각형에서 각이등분선의 성질 증명 [수학의 기초] 아폴로니우스의 원으로 가는 길(1)-삼각형에서 각이등분..
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[더플러스수학] 메네라우스의 정리와 그 역 정리-벡터에 의한 증명수학과 공부이야기 2021. 10. 4. 23:40
삼각형 \(\displaystyle \mathrm { ABC} \)와 직선 \(\displaystyle l \)이 존재하여 삼각형의 변 \(\displaystyle \mathrm { AB,~BC,~CA} \) 또는 그 연장선과 직선 \(\displaystyle l \)의 교점을 각각 \(\displaystyle \mathrm { P,~Q,~R} \)이라 할 때, 다음이 성립한다. \(\displaystyle \mathrm { \frac {\overline {RB} } {\overline {AR} } \times \frac {\overline {PC} } {\overline {BP} } \times \frac {\overline {QA} } {\overline {CQ} } = \mathrm { 1} } \..