더플러스수학학원

분류 전체보기

• [AP-Calculus] Proof of $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)=L \Longleftrightarrow \lim\limits_{h \rightarrow 0}f(a+h)=L$ [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 3. 16. 22:03

  Prove that $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L$ if and only if $\displaystyle \lim\limits_{h \rightarrow }f(a+h)=L$. (Use the precise definition of limits with $\displaystyle \epsilon-\delta$) -극한에 대한 엄밀한 정의인 $\displaystyle \epsilon-\delta$논법을 이용하여 다음이 서로 동치-필요충분조건임을 보이시오. $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L$ $\displaystyle \Longleftrightarrow$ \(\..

  Read More

• [AP-Calculus] 고려대 미적분학 기출 (Spring, 2010) [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 3. 12. 21:48

  2010학년도 봄, 고려대 미적분학 기출 Calculus Ⅰ Exam 1(Spring, 2010) 1. (15 pts) Let $\displaystyle f ( x)= {\begin{cases}x ^{2} +1, ~& \rm {if}~ x \leq 0\\x ^{3} +1, ~&\rm{if}~ x>0\end{cases}}$ Use the '$\displaystyle \epsilon - \delta$ argument' to show that $\displaystyle f$ is continuous on the real line. 2. (15 pts) Let $\displaystyle f$ be a polynomial and let {\(\displaystyle x _{0} ,x _{1}..

  Read More

• [더플러스수학] 증가함수(또는 감소함수)의 역함수도 증가함수(또는 감소함수)이다.

  수학과 공부이야기 2022. 3. 5. 10:58

  정의 증가함수함수 $\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)$가 다음 조건을 만족할 때를 (순)증가함수-strictly increasing function라고 한다.임의의 $\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)$에 대하여 \(\displaystyle x_1 또, 다음을 만족하면 단조증가함수(monotonic increasing function) 또는 감소하지 않는 함수(non-decreasing function)이라 한다.\(\displaystyle x_1 증가함수를 부정하면 즉, 증가함수가 아님을 보기 위해서는 위의 (i)을 부정하면 된다."모든, 어떤"을 포함하고, "~이면~"을 포함한 명제의 부정은 다음의 글을 ..

  Read More

• [고려대 미적분학 기출] 2018년 2학기 미적분학1 -exam1

  수학과 공부이야기 2022. 2. 24. 11:17

  1. Using the precise definition of limit, show that $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 1}\frac{x^2 +1}{x^3 +x}=1$. (12pts) 2. If $\displaystyle f(x)$ and $\displaystyle g(x)$ are differentiable functions such that $\displaystyle f \left( g(x)\right)=\tan x$ and $\displaystyle f'(x)=1+f^2 (x)$, \(\displaystyle \left ( -\frac{\pi}{2}

  Read More

• [카이스트 미적분기출] 2008 Midterm Exam of Calculus I [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 2. 20. 19:38

  1. Let $\displaystyle f(x) = 2x + cos x$. (a) (8 points) Verify that $\displaystyle f$ has an inverse. (b) (8 points) Find $\displaystyle (f ^{−1} ) ( \pi)$. 2. (15 points) Let $\displaystyle f(x) = \sqrt{4x+1}$. Use the formal $\displaystyle \epsilon-\delta$ definition of limit with given $\displaystyle \epsilon =1$ to explain that $\displaystyle f$ is continuous at \(\displayst..

  Read More

• [수학의 기초] 일대일 대응인 연속함수는 그 역함수도 연속함수이다.

  수학과 공부이야기 2022. 2. 16. 12:52

  과학고 AP-Calculus수업에서 다음 명제와 부딪혔다. 이것을 증명해 보자.정리  열린 구간 $\displaystyle  (a,~b)$에서 정의된 일대일 대응인 연속함수 $\displaystyle f$를 생각하자. 그러면 함수 $\displaystyle f$의 역함수인 $\displaystyle f^{-1}$도 연속함수이다. 위의 명제를 증명하기 위해서는 먼저 다음의 보조정리를 증명한다.열린 구간 $\displaystyle  (a,~b)$에서 정의된 일대일 대응인 연속함수 $\displaystyle  f$는 그 구간에서 증가함수이거나 감소함수이다. (증명) 귀류법으로 증명하자. 만약 함수 $\displaystyle  f$가 증가함수도 감소함수도 아니라고 가정하면아래의 두 경..

  Read More

• [수학의 기초] 삼각부등식 [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 2. 13. 14:37

  과학고 AP-Calculus 수업을 할 때, 특히 극한을 $\displaystyle \epsilon-\delta$ 논법을 이용하여 증명할 때, 많이 나온다. 물론 이 내용은 수학 하에서 부등식의 증명단원에서 절댓값을 포함한 부등식을 증명할 때, 예로 나온다.먼저 중학교 1학년에서 배운 절댓값의 정의에서 시작하자.절댓값실수 $\displaystyle x$에 대하여 절댓값 $\displaystyle x$ 즉, $\displaystyle \left| x \right|$는 원점으로부터 실수 $\displaystyle x$까지의 거리를 나타낸다. 예를 들어 $\displaystyle \left| -5 \right|$는 수직선에서 원점 $\displaystyle 0$로부터 점..

  Read More

• [카이스트 방학숙제2] winter 2022 assignment 2 [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 1. 27. 16:05

  Problem 1Suppose that a function $\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfies the following conditions for all real values $\displaystyle x$ and $\displaystyle y$:(i) $\displaystyle f(x + y) = f(x) · f(y)$.(ii) $\displaystyle f(x) = 1 + xg(x)$, where $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0} g(x) = 1$Show that the derivative f′(x) exists at every value of x (tha..

  Read More

• [카이스트 방학숙제1] winter 2022 assignment 1 [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2022. 1. 27. 15:57

  카이스트 방학 숙제1- bridge program – winter 2022 assignment 1 Problem 1 Which of the following statements are true, and which are false? If true, try to give a convincing argument; if false, give a counter-example (that is, an example confirming the falsehood). (a) If $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)$ exists but $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)$ does not exist, the..

  Read More

• [수학의 기초] 함수의 극한의 엄밀한 정의(1) $\epsilon-\delta$, $\displaystyle p \rightarrow q$와 $\displaystyle \sim p ~or~ q$와 그 부정

  수학과 공부이야기 2022. 1. 23. 15:10

  과학고 AP 수업을 할 때, 극한이 $\displaystyle \epsilon-\delta$로 정의되는데 이 속에 조건 $\displaystyle p \rightarrow q$과 모든($\displaystyle \Large \forall$)과 어떤($\displaystyle \Large \exists$)등이 포함되어 있다. 즉, 극한의 엄밀한 정의 $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=L$ For all $\displaystyle \epsilon >0$, there exists some $\displaystyle \delta =\delta (\epsilon)$ such that for all $\displaystyle x$,..

  Read More