수학과 공부이야기
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[더플러스수학] 2019년 과고2학년 2학기 중간고사[ 울산과고]수학과 공부이야기 2021. 9. 24. 22:30
1. 다음을 계산하시오. (5점) (1) \displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\3 & 4} \right) + \left ( \matrix {3 & 4\\5 & 6} \right) (1점) (2) \displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\0 & 1} \right) \left ( \matrix {1 & 2\\1 & 3} \right) (2점) (3) \displaystyle \left ( \matrix {1 & 3 & 0\\2 & -1 & 2\\0 & 1 & 3} \right) ^ {2} (2점) *해설: (1) \displaystyle \left ( \matrix {4 & 6\\8 & 10} \right) (2) $\displa..
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[더플러스수학] 2020년 2학년 2학기 중간고사 기출[울산과고]수학과 공부이야기 2021. 9. 24. 16:38
☞ 답안지의 각 장마다 학년, 반, 번호, 이름을 표기하고, 해당란에 답안을 작성하시오. 모든 문항에는 부분점수가 있으므로, 과정을 반드시 적으시오. ☞ 모든 문항은 서술형입니다. 1. 행렬 \displaystyle A 가 성분이 \displaystyle a _ {ij} 인 \displaystyle m \times n 행렬일 때, \displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {m \times n} 이라 한다. 2. 정칙행렬 : 역행렬이 존재하는 행렬 1. 두 행렬 \displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) , \(\displaystyle B= \left ( \matr..
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[더플러스수학] 울산과고 고급수학 프린트 1수학과 공부이야기 2021. 9. 9. 17:30
1. 다음 사상 중에서 선형사상인 것을 찾아라. (1) \displaystyle T~:~\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2 ,~T(x_1 ,~x_2 ,~x_3 )=(3x_1+2x_3 ,~x_2 ) (2) \displaystyle T~:~\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 ,~T(x_1 ,~x_2 )=( \left|x_1 \right| ,~x_2 ) (3) \displaystyle T~:~\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 ,~T(x_1 ,~x_2 )=(x_1 +1 ,~x_1 +x_2 ) (4) \(\displaystyle T~:~\mathbb{R_3}[x] \long..
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[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -2수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 9. 6. 20:58
연립일차방정식의 풀이 방법에는 '가우스소거법', '역행렬'과 '크래머 공식' 등이 있다. 우리는 앞에서 수반행렬을 통해 역행렬을 구하는 방법을 보았다. 이것을 이용하여 크래머 공식을 유도하고자 한다. 간단한 연립방정식을 예를 들어 해를 구하고 그 과정에서 크래머 공식이 어떻게 쓰이는지 한 번 보자. \displaystyle \begin{cases} x+2y=7 \\ 2x+3y=1\end{cases} 이것을 행렬로 나타내면 \displaystyle \begin{pmatrix} 1&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\1\end{pmatrix} \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}..
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[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -1수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 9. 6. 16:39
행렬식을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 알아보자. 정의1. 정사각행렬 \displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}에서 \displaystyle A의 각 원소 \displaystyle a_{ij}의 여인수 \displaystyle A_{ij}로 이루어진 행렬 \displaystyle \left(A_{ij} \right) _{n \times n}을 \displaystyle A의 여인수행렬 이라 한다. 또, \displaystyle A의 여인수 행렬의 전치행렬을 \displaystyle A의 수반행렬이라고 하고 \displaystyle adj A로 나타낸다. 즉, \(\displaystyle adj A = \left(A_..
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[더플러스수학] 고급수학1 det(AB)=det(A)det(B)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 26. 16:11
이 글에서는 \displaystyle n차 정사각행렬 \displaystyle A,~B에 대하여 \displaystyle det(AB)=det(A)det(B) 임을 증명해 보도록 하자. 먼저 행렬 \displaystyle A가 비가역행렬(특이행렬)일 때와 가역행렬일 때로 나누어서 증명한다. 먼저 비가역행렬일 때의 증명에 앞어서 다음의 보조정리를 증명하자. 보조정리1. 행렬 \displaystyle A가 비가역행렬이면 행렬 \displaystyle AB도 비가역행렬이다. 주의하자. 행렬식의 성질 \displaystyle det(AB)=det(A)det(B) 을 이용하여 위의 보조정리를 증명할 수 있다. 그러나 여기서는 쓰면 안된다. 왜냐하면 \(\displ..
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[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 24. 22:54
2021.08.23 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) 행렬식에 대해 알아보자. 먼저 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이고 행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되고 하나의 실숫값이다. 다르게 말하면 행렬식은 정사각행렬에서 실수로 plusthemath.tistory.com 앞의 글에서 행렬식의 정의에 대하여 알아 보았다. 여기서는 행렬식의 성질을 고찰해 보자. \displaystyle n차 정사각행렬 \displaystyle A의 행렬식(determinant)는 \displaystyle A의 임의의 어느 한 행이나 열에 대해 여인수 전개해도 똑같으면 그 전개한 값을 행렬 \(\displaystyle..
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[더플러스수학] 가우스 소거법 - 기본 행 연산, 기본 행렬수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 23. 21:01
연립방정식을 풀 때, 문자를 소거하느라 단순 계산 과정이 엄청 많다는 것을 경험한 적이 있을 것이다. 특히 연립방정식 중에서 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 연립방정식이면 역행렬이 존재하지 않아서 해를 구하기가 힘들다. 또, 역행렬이 존재한다 하더라도 행렬의 크기가 커 역행렬 구하기가 힘들 때, 우리는 가우스 소거법을 많이 쓴다. 또, 컴퓨터 프로그램으로 짜기도 쉬어 가우스 소거법을 이용하여 해를 구하는 과정이 쉬워진다. 가우스 소거법에 대하여 알아보자. 다음과 같은 \displaystyle 3개의 미지수를 가진 연립일차방정식을 생각해보자. \(\displaystyle \begin{cases} a_{11}x +a_{12}y+a_{13}z=b_{1} \\a_{21}x +a_{22}y+a_{23}..
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[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 23. 18:32
행렬식에 대해 알아보자. 먼저 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이고 행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되고 하나의 실숫값이다. 다르게 말하면 행렬식은 정사각행렬에서 실수로 가는 일종의 함수라고 생각할 수 있다. 정의1. 행렬식(determinant of \displaystyle A) \displaystyle n차의 정사각행렬 \displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}의 행렬식을 \displaystyle \left| A \right| 또는 \displaystyle det(A)로 나타내며 다음과 같이 귀납적으로 정의한다. (1) \displaystyle n=1일 때, \(\displaystyle \left | a_{11} \righ..
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[더플러스수학] 필요충분조건-특이행렬과 고윳값 0수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 21. 15:30
문제의 상황 고급수학 연습문제 중 "행렬 \displaystyle A가 역행렬을 갖지 않을 필요충분조건은 행렬 \displaystyle A의 고윳값 중 \displaystyle 0이 있다." 영어로 "Show that a matrix \displaystyle A is singular if and only if \displaystyle 0 is an eigenvalue of \displaystyle A" (증명) \displaystyle (\Longleftarrow ) (증명1) 행렬 \displaystyle A가 고윳값 \displaystyle 0을 갖는다고 가정하자. 고윳값의 정의에 의해 \(\displaystyle A \vec x = \..