더플러스수학학원

수학과 공부이야기

• [옥동수학학원][더플러스수학] 카탈란 수 (1)

  수학과 공부이야기 2021. 8. 2. 18:19

  이산수학 최경식(경문사)에서의 예에서 시작해보자.요금이 $\displaystyle 5,000$원인 어떤 영화가 보고싶어 $\displaystyle 6$명이 극장에 들어가려고 한다. 그 중 $\displaystyle 3$명은 $\displaystyle 5,000$원짜리를 가지고 있고 나머지 $\displaystyle 3$명은 $\displaystyle 10,000$원짜리를 가지고 있다. 매표소에는 잔돈이 준비되어 있지 않다. 모두 입장할 수 있도록 일렬로 서는 방법의 수를 구한다. 단, 사람들은 구별하지 않는다. 즉, 같은 돈을 가진 사람이면 누가 앞에 서든지 문제삼지 않는다.풀이) 사람들을 구별하지 않으므로 $\displaystyle 5,000$짜리를 가진 사람을 \(\displ..

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• [전자책] 수리논술 심층면접대비 미적분 제1부 [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2021. 6. 30. 21:40

  수리논술 심층면접 전자책 출간했습니다! 서울대 카이스트 심층면접준비하는 학생! 연세대 등 수리논술을 준비하는 학생들이 보면 좋은 책! 각 문제별 저자 직강 동영상이 링크로 연결된 책! 자기주도적으로 공부할 수 있는 책입니다! 수리논술 심층면접대비 미적분 제1부 권도형 저 서울대, 카이스트, 연세대 등 각 대학별 수리논술, 수학 심층면접을 어떻게 준비할까? 고민이 많는 학생들에게 드리는 전자책! 풀이 동영상이 있는 전자책! 수능수학! 수리논술! 서로 다르게 준비해야 할까? 아니다. 문제는 수학의 깊이!수능 수학 일등급을 맞고자 하는 학생은 반드시 수리논술 문제, 즉 서술형 주관식 문제를 반드시 풀어야 한다. 또 수능의 합답형 문제 ㄱ, ㄴ, ㄷ 선택하는 문제는 수리논술 문제이다. 이 문제의 풀이과정을 서술..

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• [더플러스수학] 함수 $\displaystyle f$가 일대일대응이면 역함수 $\displaystyle f^{-1}$도 일대일대응이다.

  수학과 공부이야기 2021. 5. 31. 16:46

  정리. 함수 $\displaystyle f:X \rightarrow Y$가 일대일대응(즉, 일대일함수이고, 치역과 공역이 같은 함수)이면, $\displaystyle f ^ {-1} :Y \rightarrow X$도 일대일대응이다. 이 때, $\displaystyle f ^ {-1}$을 $\displaystyle f$의 역함수(inverse function)이라고 한다. (증명) $\displaystyle f$가 함수이므로 함수 $\displaystyle f$의 정의역 $\displaystyle X$의 모든 원소의 함숫값이 집합 $\displaystyle y$에 존재하므로 $\displaystyle f ^ {-1}$의 공역 \(\displaystyle X ..

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• [옥동수학학원][수학의 기초] 정적분의 정의(1)-리만합, 상합, 하합의 관계

  수학과 공부이야기 2021. 2. 1. 16:43

  미적분 수업을 하면서 정적분의 정의를 고등학교과정을 넘어 대학에서는 어떻게 정의하고 있는지를 학생들에게 알려 줄 필요가 있어서 이우출판사의 미적분학(저자 김정수, 박을용, 이을용, 윤옥경 등등) 1988년 책-오래된 책 ㅋㅋ 본인의 대학교 1학년교재-을 참조하여 정리해 나가고자 한다. 증명은 최대한 본인이 이해한 방식으로 적을 것이다. 그러므로 오류가 있다면 그것은 나로 인한 것이다. 고등학교에서는 구간 $\displaystyle I=[a,~b]$ 를 $\displaystyle n$ 등분-균등분할하여 구분구적법으로 정적분을 정리하지만 대학에서는 균등분할하지 않고 임의로 분할하여 정적분을 정리해 간다. 먼저 구간의 분할에서 출발하자. 정의1. 구간의 분할, 분할의 크기(norm of partit..

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• 한 문제의 두 이야기 1 - 수학상 5-18번

  수학과 공부이야기 2021. 1. 30. 10:55

  (구독과 좋아요) $\displaystyle a,~b$가 유리수일 때, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $$\displaystyle( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+2} = ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+1} + ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n}$$ 이 성립하도록 $\displaystyle a,~b$의 값을 정하여라. 단, $\displaystyle b \neq 0$이다. (풀이1) 더보기 정답 $\displaystyle {a= \frac {1} {2} ,~b=\pm \frac {1} {2} }$ $\displaystyle a$는 유리수이고 $\displaystyle b \neq 0$이므로 $ \displaystyle( a+b \sqrt {..

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• [더플러스수학학원] 2021년 1월 4주 차 예비 과고 1학년 수업

  수학과 공부이야기 2021. 1. 30. 01:28

  어느새 1월 마지막 주 수업을 마쳤습니다. 2월 한 달 열심히 준비해서 3월부터 시작될 과학고 정규 수업 시 우리 학생들의 능력이 압도적으로 발휘되기를 바랍니다^^ 이번 1월 4주 TEST 결과, 이전 TEST와 같이 우리 친구들이 일반적인 연산(일반적이라고 하지만 어려웠죠?^^) 문제는 선생님도 놀랄 만큼 해결을 잘했답니다. 하지만 '증명하시오.'라는 문제에는 아직 적응이 덜 된 것인지 명쾌한 답안을 제시 못하는 경우가 있었어요. 물론 증명 문제는 많은 연습이 필요한 부분이기도 합니다. 우리 #더플러스수학학원 친구들이 좀 더 깊이 있는 학습을 통해 본인이 알고 있는 개념을 적재적소에 사용할 수 있기를 바랍니다. http://m.blog.naver.com/plusthemath/222224412590

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• [수학의 기초] [정적분의 정의] 2008학년도 연세대 모의논술 [더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2021. 1. 29. 16:06

  2008학년도 연세대 모의논술 문제를 통해 정적분의 정의를 이용하여 곡선의 길이를 구하는 공식을 여러가지 방식으로 유도해 본다. youtu.be/QuhLNX7rK4A(구독과 좋아요) 2008학년도 연세대 모의논술 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (40점) 함수 $\displaystyle f ( x)$의 도함수 $\displaystyle f ' ( x)$가 닫힌구간 $\displaystyle \left [ a,~b \right ]$에서 연속이고, $\displaystyle y=f ( x)$의 그래프가 [그림 1]과 같을 때, 다음 물음에 답하시오. [문제 1-1] 곡선 $\displaystyle y=f ( x)$ 위의 점 $\displaystyle ( a,~f ( a))$부터 점 $\displa..

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• [수학의 기초] 카발리에리의 원리-정적분의 활용

  수학과 공부이야기 2021. 1. 29. 15:30

  https://youtu.be/FnwgXBIVTOA(구독과 좋아요) 카발리에리의 원리(Cavalieri's Principle) 같은 높이를 갖는 입체들이 각 높이에서 동일한 넓이를 가진다면 똑같은 부피를 갖는다. 절단면의 넓이함수 $\displaystyle A ( x)$와 구간 $\displaystyle [a,~b]$가 두 입체들에 대해서 똑같은 조건이기 때문에 이 원리는 부피의 정의로부터 두 입체의 부피가 명백히 같다는 것을 말한다. 다음 문제를 읽고 물음에 답하여라.(카발리에리의 원리) (1) 곡선으로 둘러싸인 높이가 같은 두 개의 도형 $\displaystyle \mathrm {M,~N}$이 있다. 일정한 직선 $\displaystyle \mathrm {XY}$에 평행인 직선을 그렸을 때 $..

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• [울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(2)[더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2020. 12. 31. 11:54

  전편에서 가우스기호의 성질을 이용하여 에르미트 항등식을 증명한데 이어 2020/12/31 - [수학과 공부이야기] - [울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(1)[더플러스수학] https://youtu.be/nAyjopeVhAU(구독과 좋아요!!) 이제는 주기함수임을 증명하고 이를 이용하여 에르미트 항등식을 증명하자. $$\displaystyle \left [ x \right ] + \left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] = \left [ nx \right ]$$ 임을 보이시오. (단, $\displaystyle [x]$ 는..

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• [옥동수학학원][울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(1)[더플러스수학]

  수학과 공부이야기 2020. 12. 31. 09:47

  이 글에는 에르미트 항등식에 대한 증명을 하려고 한다. 울산 옥동에 있는 울산과고전문 수학학원 더플러스수학학원입니다. 울산과고 기출문제 중에 하나입니다. 2017년 1학년 1학기 중간고사에 나왔다. $$\displaystyle \left [ x \right ] + \left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] = \left [ nx \right ]$$ 임을 보이시오. (단, $\displaystyle [x]$ 는 $\displaystyle x$ 를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)[6점] [2017 과고1 1학기 중간 주11]위의 항등식을..

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