수학과 공부이야기
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[더플러스수학] \(\displaystyle x^n\) 미분 증명(실수까지)수학과 공부이야기 2020. 12. 28. 15:24
\(\displaystyle \frac{d}{dx}x^n =n x^{n-1} ~ (n은~실수)\)https://youtu.be/G-uDnkUR6JQ (구독과 좋아요)이것을 (i) \(n\)이 자연수일 때, (ii) \(n\)이 정수일 때, (iii) \(n\)이 유리수일 때, (iv) \(n\)이 실수일 때의 순으로 증명하자. 증명하는 과정에서 미분공식이 각각 필요하다. (i) \(n\)이 자연수증명할 때, 필요한 미분공식은 곱미분법이다. 즉 함수 \(f(x),~g(x)\)가 각각 미분가능하면 \(f(x)\times g(x)\)도 미분가능하고, 도함수는$$\left\{f(x)\times g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$또, 증명방법으로 수학적 귀납법이 필요하다.이제 \(\d..
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[수학의 기초] 지수함수는 모두 아래로 볼록, 로그함수는 위로볼록, 아래로볼록 모두 있는 이유?수학과 공부이야기 2020. 11. 3. 16:34
과고 학생의 질문? 학교 과제로 지수함수는 모두 아래로 볼록인 함수이지만 왜 그 역함수는 위로 볼록인 함수와 아래로 볼록인 함수가 있는지 그 이유를 알고 싶어 질문함. 젠센 부등식을 이용하여 보이는 것이 힌트임. 먼저 젠센 부등식에 대하여 알아 보자. 함수 $\displaystyle f$가 아래로 볼록인 함수이면 다음이 성립한다. 정의역에 속하는 임의의 $\displaystyle a,~b $에 대하여 $$\displaystyle f \left(\frac{a+b}{2} \right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}$$ 부등호가 반대로 되면 위로볼록함수이다. 이것에 대한 자세한 설명은 아래의 링크를 따라가 보세요. 2019/10/23 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 곡선의 볼록성 정..
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[수학의 기초] 생성함수에 대하여 (1) [더플러스수학]수학과 공부이야기 2020. 10. 7. 08:53
수학1의 수열에서 수학적 귀납법 단원 중 수열의 점화식이 나오는 문제를 풀 때, 점화식 마다 풀이 방법을 외워야 해서 학생들이 많이 힘들어 합니다. 물론 이 과정은 교과에 빠졌지만 상위권학생은 풀이 과정을 이해하고 외워야 합니다. 이 문제를 다른 관점에서 해결하고자 "생성함수"(generating function)에 대해 가볍게 알아보고 이를 이용하여 점화식을 한번 풀어 보겠습니다. 일반적으로 수열 $\displaystyle \left\{ a_n \right\}~(n=0,~1,~2,~\cdots)$에 대하여 $$\displaystyle g(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 + \cdots+a_n x^n +\cdots =\sum_{\textcolor{red}{n=0}}^{\infty}a_n x^n$$..
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[수학의 기초] 기저변환행렬 (2) [더플러스수학]수학과 공부이야기/선형대수학 2020. 9. 17. 20:50
기저변환행렬에 대한 정확한 이해!!! 기저 $\displaystyle \vec p , ~\vec q $의 집합을 $\displaystyle A$, 기저 $\displaystyle \vec {p'} , ~\vec {q'} $의 집합을 $\displaystyle B$라고 할 때, 기저 $\displaystyle A$를 $\displaystyle B$로 바꾸는 행렬 즉 기저변환행렬 $\displaystyle \left[ P \right]_{A}^{B}$은 다음과 같다. 기저 $\displaystyle A$에서의 좌표 $\displaystyle (x,~y)$를 기저 $\displaystyle B$에서의 좌표 $\displaystyle (x',~y') $로 바꾸는 행렬을 의미한다. 앞 글의 독자님의 질문을 예로 ..
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[옥동수학학원][수학의 기초] 테일러 정리 증명-평균값 정리의 일반화[더플러스수학]수학과 공부이야기 2020. 7. 27. 22:51
안녕하세요. 울산과고전문 더플러스수학학원입니다. 이번엔 평균값정리의 일반화인 테일러정리를 알아 보겠습니다. 테일러정리는 울산과고 3학년이 배우는 AP미적분학에 나옵니다. 1학기 기말고사 범위에 입니다. 테일러 정리(Taylor Theorem)(1) 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,~b)$에서 $n$번 미분가능하면 $$\displaystyle \begin{align} f(b) &= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + \frac{(b-a)^n}{n!} f^{(n)}(c)\\&= f(a)+ (b-a)f'(a)+ \cdots+ \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)+\frac{(b-..
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[수학의 기초] $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ 여러가지 증명 [더플러스수학]수학과 공부이야기 2020. 7. 14. 17:44
고등학교 수학에서, 특히 고1과정에서 굉장히 중요한 공식이 $$\textcolor{red}{x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx}$$이다. 이것을 다양하게 증명해 보자. 1) 일반적인 부등식의 증명 $$\begin{align} x^2+y^2+z^2 -(xy+yz+zx) &= \frac{1}{2} \left\{ 2x^2 +2y^2 +2z^2 -2xy-2yz-2zx\right\} \\&= \frac{1}{2} \left\{ \left(x^2 -2xy+y^2 \right) +\left(y^2 -2yz+z^2 \right)+\left(z^2 -2zx+x^2 \right)\right\}\\&= \frac{1}{2} \left\{ (x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2\right\} \geq 0 \e..
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[수학의 기초] 확률과 통계 경우의 수 구하는 특이한 방법들('menage problem'을 해결하기 위해)-1수학과 공부이야기 2020. 6. 17. 16:24
1. $1$부터 $n$까지의 서로 다른 정수 중에서 이웃하지 않는 서로 다른 $k$를 뽑는 방법의 수는 $$ \textcolor{red}{\displaystyle {}_{n-k+1} \mathrm{C}_{k}}$$ (증명) 서로 다른 $k$개의 수를 $x_1 ,~x_2 ,~\cdots,~x_k$라 두면 이 수들이 서로 이웃해서는 안되므로 $i=1,2,\cdots,{k-1}$인 $i$에 대하여 $x_i$ 와 $x_{i+1}$ 사이에는 적어도 $1$개의 숫자가 들어가야 한다. 그런데 $x_1$ 앞과 $x_k$ 뒤에는 $0$개 이상 들어 가도 된다. $n$개 중 $k$개의 수가 아닌 것의 개수는 $n-k$개이다. 이 $n-k$개를 모두 같은 빈 $\boxed{~~}$ 로 표시하자. 그러면 위의 그림에서 볼 수..
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[수학의 기초] 아폴로니우스의 원으로 가는 길(1)-삼각형에서 각이등분선의 성질 증명수학과 공부이야기 2020. 5. 17. 14:06
아폴로니우스의 원 이에 대한 증명을 위해 먼저 각 이등분선의 성질을 아래의 3가지의 관점에서 증명해 보겠다. 중학교 2학년 2학기에 나오는 삼각형의 각 이등분선의 성질을 중학교 과정의 (1) 유클리드 기하의 관점에서 (2) 고1의 해석기하의 관점에서 (3) 기하에서 벡터의 관점에서 증명하고자 한다. 먼저 증명하고자 하는 것을 명제로 표현하면 다음과 같다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm { ABC} $에서 $\displaystyle \angle A $의 내(외)각의 이등분선이 변 $\displaystyle \mathrm { \overline {BC} }$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm { P }$라 하면 $$\displaystyle \mathrm { \overli..
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[삼사기출] 2017학년도 나형 14번-일대일대응수학과 공부이야기 2020. 4. 7. 09:47
두 집합 $\displaystyle A= \left\{ 1,~2,~3,~4 \right\} $, $\displaystyle B= \left\{ 2,~3,~4,~5 \right\} $에 대하여 두 함수 $\displaystyle f~:~A \rightarrow B $, $\displaystyle g~:~B \rightarrow A $가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\displaystyle f ( 3)=5 $, $\displaystyle g ( 2)=3 $ (나) 어떤 $\displaystyle x \in B $에 대하여 $\displaystyle g ( x)=x $이다. (다) 모든 $\displaystyle x \in A $에 대하여 $\displaystyle ( f \circ g \circ f) ..