수학과 공부이야기
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[옥동수학학원][더플러스수학]##[수학의 기초] 일차식 기저, 차원, 표준기저-1수학과 공부이야기 2019. 12. 11. 20:26
직선의 표현 중2에서 시작하자. 두 점 $(1,~2),~(3,~-4)$을 지나는 직선을 어떻게 구할까? 먼저 직선은 $y=ax+b$ 꼴로 나타낼 수 있으므로 이 식에 $(1,~2),~(3,~-4)$를 대입하면 $$\begin{align}2&=a+b\\-4&=3a+b\end{align}$$ 위의 두 식을 연립하면 $a=-3,~b= 5$이므로 $$y=-3x+5$$ 이다. 여기서 나의 고민은 "두 점을 지나는 직선"을 "세 점을 지나는 2차함수"로, "네 점을 지나는 3차함수로"로 계속 올라 간다면 계속 연립방정식을 풀어야 한다는 것이다. 꼭 일차함수는 $y=ax+b$로, 이차함수는 $y=ax^2 +bx+c$로, 삼차함수는 $y=ax^3 +bx^2 +cx+d$로 놓아야 하는가? 이 부분은 나만의 고민? 그럴리..
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[더플러스수학]과학고2학년 고급수학 2학기기말대비 프린트수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 12. 8. 14:29
2. 삼각행렬의 고윳값은 그 행렬의 대각원소들임을 보여라. https://youtu.be/1XNEOX-QZ9E YouTube www.youtube.com 3. $ A $를 $ n \times n $행렬이라 할 때, $ A $가 특이행렬이기 위한 필요충분조건은 $ \lambda =0 $이 $ A $의 고유값임을 증명하여라. https://youtu.be/z6ySn83qVE4 YouTube www.youtube.com 4. $ A $가 비특이행렬이고 $ \lambda $가 $ A $의 고윳값이라 하자. $ \large{\frac {1} {\lambda }} $가 $ A ^ {-1} $의 고윳값임을 증명하라. https://youtu.be/HgGecSWsUtI YouTube www.youtube.com 5. ..
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[수학의 기초] 우함수 기함수 미분수학과 공부이야기 2019. 12. 7. 11:59
우함수 미분하면 기함수? 기함수 미분하면 우함수? 증명은? 우함수란 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(-x)=f(x)$$를 만족하는 함수이다. 영어로는 우함수(even-function)으로 여기서 even은 짝수를 의미한다. 즉 $y=x^{짝수}$인 함수는 $y$축에 대칭이므로 이 함수를 일반화하여 $y$축에 대칭인 함수를 우함수라고 한다. 마찬가지로 기함수(odd-function)도 $$f(-x)=-f(x)$$를 만족하는 함수이다. "우" 짝수(even), "기" 홀수(odd) 우함수 미분은 기함수 증명 함수 $\displaystyle f$가 미분가능하며 기함수이면 그 도함수 $f'$는 우함수 $$f'(-x)=f'(x)$$이다. (증명) 여기서 $$f'(-x)$$와 $$(f(-x))'$$을 구별해야 한..
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[더플러스수학] 2018 울산과고 중간 8번 문제수학과 공부이야기 2019. 11. 30. 16:34
$ f ( x)=x ^ {3} +4x ^ {2} -8x+k,~g ( x)=x ^ {2} +x-2 $일 때, $ f ( x) $의 세 근을 $ \alpha ,~ \beta ,~ \gamma $라 하자. $ g ( \alpha )g ( \beta )g ( \gamma )=28 $일 때, $ k $의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [4점] https://youtu.be/Mudum5GePIQ 2019/10/11 - [과학고/1학년1학기] - 2018학년도 1학년 1학기 중간고사 2018학년도 1학년 1학기 중간고사 plusthemath.tistory.com
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[수학의 기초] 함수의 정의와 함수의 종류 -2수학과 공부이야기 2019. 11. 28. 01:08
함수 $f~:~X~\longrightarrow ~Y$에 대하여 정의 일대일 함수 $X$의 서로 다른 원소에 $Y$의 서로 다른 원소가 대응되는 함수를 일대일 함수라고 한다. 즉 집합 $X$의 임의의 원소 $x_1 ,~x_2$에 대하여 $x_1 \neq x_2$이면 $f(x_1 ) \neq f(x_2 )$이다. $f(x_1 ) = f(x_2 )$이면 $x_1 = x_2$이다. De nition A function f is one-to-one or injective if and only if $f(x) =f(y)$ implies $x = y$ for all $x,~y$ in the domain $X$ of $f$. Formally: $$\forall x,~y \in X, f(x) = f(y) ~\longri..
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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-3수학과 공부이야기 2019. 11. 28. 00:15
https://plusthemath.tistory.com/267 [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-2 https://plusthemath.tistory.com/263 [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1 고등학교 수학에서는 로그함수($\ln x$)를 정의하는 절차는 다음과 같다. 1. 중1에서 자연수에서 지수법칙을 정의하기 $\textcol.. plusthemath.tistory.com 전편에 있어 이제 자연상수 $e$를 정의할 수 있게 되었다. 정의 자연상수 $e$ $e$는 $\ln e=1$인 수이다. 수를 소수 $20$번째 자리까지 계산하면 $$e= 2.71828182845904523536$$ 이다. 이 수는 순환하지 않는 무한소수 즉, 무리수이다. $e$가 무리수임에 대한 증명은 ..
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[수학의 기초] 함수의 정의와 함수의 종류 -1수학과 공부이야기 2019. 11. 26. 19:26
정의 함수 공집합이 아닌 두 집합 $X,~Y$가 존재하여 집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 원소가 하나씩 대응할 때 이 대응을 $X$에서 $Y$로의 함수 라 하고 문자 $f$를 써서 $f~:~X ~\longrightarrow~Y$ 또는 $\require{AMScd}\begin{CD} X @>{f}>> Y\end{CD}$ 또, 함수 $f$에 의하여 $X$의 원소 $x$에 $Y$의 원소 $y$가 대응하는 것을 $f~:~x ~\longrightarrow~y$ 또는 $\require{AMScd}\begin{CD} x @>{f}>> y\end{CD}$, $y=f(x)$ 등으로 나타내고, $y$는 $x$의 함수이다 라고 한다. 이때 $y$를 $f$에 의한 $x$ 의 함숫값이라 하고 $f(x)$ 로 나타낸다. ..
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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-2수학과 공부이야기 2019. 11. 25. 13:29
https://plusthemath.tistory.com/263 [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1 고등학교 수학에서는 로그함수($\ln x$)를 정의하는 절차는 다음과 같다. 1. 중1에서 자연수에서 지수법칙을 정의하기 $\textcolor{red}{m,~n}$ 은 자연수, $a>0,~a \ne 1$인 실수에 대해 $$\begin{align} &a^m \t.. plusthemath.tistory.com 이 과정의 한계지점 (1) 지수보다 수열을 나중에 배움 (2) 수열의 수렴은 미적분과정에서 배움 (3) 단조수렴정리 "증가수열이고 위로 유계면 수렴한다."는 대학과정 혹은 고급수학과정임 전편에서 본 위와 같은 한계를 극복하기 위해 대학에서는 먼저 모든 학생들이 이과면 미적분을 배웠기 때문에 $..
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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1수학과 공부이야기 2019. 11. 24. 10:58
고등학교 수학에서는 로그함수($\ln x$)를 정의하는 절차는 다음과 같다. 1. 중1에서 자연수에서 지수법칙을 정의하기 $\textcolor{red}{m,~n}$ 은 자연수, $a>0,~a \ne 1$인 실수에 대해 $$\begin{align} &a^m \times a^n =a^{m+n} &\frac{a^m }{a^n}= \begin{cases} a^{m-n} &(m>n) \\ 1&(m=n) \\ \frac{1}{a^{n-m}} &(m0,~N>0,~a \neq 1,~a > 0,~n \in \mathbb R$에 대하여 (1) $\log_a MN =\log_a M +\log_a N$ (2) $\log_a \frac{M}{N} =\log_a M -\log_a N$ (3) $\log_a M^n =n \log_..
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[수학의 기초] 자연상수 $e$ 무리수 증명수학과 공부이야기 2019. 11. 16. 00:18
1. $ \displaystyle e^x$이 다음과 같이 표현될 수 있다고 하자. Taylor Series $$e ^ {x} =1+ \frac {x} {1!} + \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {n} } {n!} + \cdots$$ 여기에 $x=1$을 대입하면 $$ e=1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {n!} + \cdots $$ 이다. (1) 다음을 증명하여라. $$ 00 $이므로 $ \displaystyle F _ {k+1} ( x) $는 증가함수이다. 또 $ \displaystyle F _ {k+1} ( 0)=0 $이다. 따라서 $ \displaystyle x>0 $일 때, $ \di..